שיעור 24: ריצה הלוך וחזור – שילוב חשבונית והנדסית

פרק 6 – כלל נסיגה ושילוב סדרה חשבונית והנדסית

1נוסח השאלה

2סעיף א – הלוך: סדרה הנדסית

3סעיף ב – באיזו דקה תגיע

📄 נוסח השאלה

דנה יוצאת מביתה לריצה. בדקה הראשונה היא עוברת מרחק של 80 מטר. בכל דקה נוספת דנה עוברת מרחק גדול פי 1.02 מן המרחק שעברה בדקה הקודמת.

אחרי 20 דקות של ריצה דנה עוצרת, מסתובבת וחוזרת באותה דרך. הפעם בדקה הראשונה היא עוברת 100 מטר, ובכל דקה נוספת היא עוברת 5 מטר יותר מן המרחק שעברה בדקה הקודמת. דנה מסיימת את הריצה כשהיא מגיעה לביתה.

📄 נוסח השאלה · המשך

א. האם תספיק דנה לעבור את הדרך חזרה הביתה ב־10 דקות? נמקו.

ב. באיזו דקה של הדרך חזרה תגיע דנה לביתה?

סעיף א – הלוך: סדרה הנדסית

בהלוך המרחקים גדלים "פי 1.02" ← סדרה הנדסית: a₁ = 80 , q = 1.02, 20 איברים. המרחק מהבית הוא הסכום שלהם:

S₂₀ = 80(1.02²⁰ − 1)1.02 − 1

📐 סכום בסדרה הנדסית

1.02²⁰ ≈ 1.486

S₂₀ ≈ 80 · 0.4860.02 ≈ 1,943.8

המרחק מהבית: כ־1,943.8 מטר.

בחזור המרחקים גדלים "ב־5" ← סדרה חשבונית: b₁ = 100 , d = 5. ב־10 דקות היא עוברת:

📐 סכום בסדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

סעיף א – הלוך: סדרה הנדסית · המשך

בחזור המרחקים גדלים "ב־5" ← סדרה חשבונית: b₁ = 100 , d = 5. ב־10 דקות היא עוברת:

S₁₀ = 102 · [2 · 100 + 9 · 5]

📐 סכום בסדרה חשבונית

= 5 · 245 = 1,225

1,225 < 1,943.8: ב־10 דקות היא לא מגיעה לבית.

✅ פתרון סופי: לא, 1,225 < 1,943.8

📐 סכום בסדרה חשבונית

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

סעיף ב – באיזו דקה תגיע

מחפשים את מספר הדקות n הראשון שבו הדרך בחזור מגיעה ל־1,943.8 מטר:

n2 · [200 + 5(n − 1)] ≥ 1,943.8

📐 סכום בסדרה חשבונית

בודקים את המספרים הקרובים:

S₁₄ = 7 · [200 + 65] = 1,855

S₁₅ = 7.5 · [200 + 70] = 2,025

אחרי 14 דקות עוד לא הגיעה (1,855 < 1,943.8), ובמהלך הדקה ה־15 היא כבר עוברת את המרחק (2,025 > 1,943.8).

📐 סכום בסדרה חשבונית

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

סעיף ב – באיזו דקה תגיע · המשך

אחרי 14 דקות עוד לא הגיעה (1,855 < 1,943.8), ובמהלך הדקה ה־15 היא כבר עוברת את המרחק (2,025 > 1,943.8).

✅ פתרון סופי: בדקה ה־15

📌 סיכום התשובות

סעיף א

לא

סעיף ב

בדקה ה־15

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא